Zwei Aufgaben zu Kreissehnen gegebener Länge

Erste Aufgabe: Gegeben ist ein Kreis k (Mittelpunkt M), ein Punkt P im Innern des Kreises und eine Strecke [AB] gegebener Länge s. Gesucht sind alle Kreissehnen der Länge s, die durch P gehen.

Lösungsstrategie: Wir zeichnen zuerst eine beliebige Kreissehne [A'B'] der gegebenen Länge s, fixieren darauf einen dem Punkt P entsprechenden Punkt P' und drehen [A'B'] um P so, daß P' auf P abgebildet wird. Eine zweite Lösung ergibt sich aus Symmetriegründen am einfach­sten durch Spiegeln an der Durchmessergeraden (Symmetrieachse) MP.

Die recht aufwendige Konstruktionsvorschrift, bei der wir jede Hilfslinie nach Gebrauch aus­radieren, um die Übersicht zu behalten, lautet dann:

(1) Den Kreis k zeichnen ("Kreis )

     Den Punkt P im Innern des Kreises k zeichnen ("Punkt")

     Eine Strecke [AB] der gegebenen Länge s zeichnen ("Strecke")

(2) Eine beliebige Kreissehne der Länge s so konstruieren:

     -  Einen Punkt A' auf k legen ("Punkt auf Objekt")

     -  Den Hilfskreis h1 um A' mit Radius |AB| zeichnen ("Kreis aus Kreismittelpunkt und Radius")

     -  Die Kreise h1 und k schneiden ("Schnitt"), einen der Schnittpunkte B' nennen

     -  Strecke [A'B'] zeichnen ("Strecke"), sie ist die gesuchte beliebige Kreissehne.

     -  Den Hilfskreis h1 und den 2. Schnittpunkt von h1 und k ausradieren ("Radiergummi")

(3) Den Punkt P' auf der Kreissehne [A'B'] so bestimmen:

     -  Den Hilfskreis h2 um M durch P zeichnen ("Kreis aus Kreismittelpunkt und Kreispunkt)

     -  Kreis h2 und Sehne [A'B'] schneiden ("Schnitt"), einen der Schnittpunkte P' nennen.

     -  Den Hilfskreis h2 und den zweiten Schnittpunkt von h2 und [A'B'] ausradieren ("Radiergummi")

(4) Die eine Lösungs-Sehne so konstruieren:

     -  Einen zum Winkel P'MP gleichgroßen Winkel UVW zeichnen (Makro Winkelübertragung), dann einen
   Punkt W auf den freien Schenkel legen, Strecke [VW] zeichnen, den freien Schenkel ausradieren

     -  Die Gerade g' durch die Punkte A' und B' legen ("Gerade durch 2 Punkte")

     -  Die Gerade g' um M mit dem Winkel UVW drehen (Makro Drehen-Gerade), die Bildgerade g1 nennen

     -  Gerade g1 und Kreis k schneiden, die Schnittpunkte mit  A1 und B1 bezeichnen

     -  Strecke [A1B1] zeichnen ("Strecke"), sie ist die eine Lösungs-Sehne.

     -  Gerade g' ausradieren ("Radiergummi")

(5) Die andere Lösungs-Sehne so konstruieren:

     -  Die Gerade MP zeichnen ("Gerade durch 2
   Punkte")

     -  Die Gerade g1 an der Geraden MP spie-
   geln (Makro Geradenspiegeln), die Bildge-        rade g2 nennen

     -  Gerade g2 und Kreis k schneiden
   ("Schnitt"), die Schnittpunkte A2 und B2
   nennen

     -  Die Strecke [A2B2] zeichnen ("Strecke"),
   sie ist die andere Lösungs-Sehne.

     -  Geraden MP, g1 und g2 ausradieren ("Radiergummi").

Zur Fallunterscheidung variieren wir die Parameter "Streckenlänge s" und "Punkt P". Dabei stellen wir fest (den Kreisdurchmesser nennen wir d):

-   Ist P=M, so gibt es           für s=d beliebig viele Lösungs-Sehnen

                                    für s<d keine Lösungs-Sehnen.

-   Ist P¹M, so gibt es für s=d genau 1 Lösungssehne, nämlich den Durchmesser durch P,

                                    für s<d genau 2, 1 oder keine Lösungs-Sehne je nachdem, ob der                            Hilfskreis l2 die Sehne [A'B'] schneidet, berührt oder meidet.

Die zweite Aufgabe: Gegeben sind ein Kreis k und ein Punkt P im Außengebiet des Krei­ses, außerdem eine Strecke der Länge r und eine Strecke [AB] der Länge s. Gesucht sind alle Kreise mit dem Radius r, die mit k eine gemeinsame Sehne der Länge s haben und durch P gehen.

Die Lösungsstrategie ist dieselbe wie bei der ersten Aufgabe: Zuerst eine beliebige Sehne [A'B'] der Länge s in den Kreis k einzeichnen und zu dieser Sehne einen Kreis l' mit dem Radius r konstruieren. Auf diesem Kreis einen dem Punkt P entsprechenden Punkt P' fixieren und den Kreis um M so drehen, daß der Bildkreis l1 durch P geht. Die Schnittpunkte von k und l1 sind die Endpunkte der Sehne [A1B1]. Die zweite Lösungsfigur findet man durch Spiegeln an der Symmetrieachse MP. Auch hier sollte man daran denken, jede Hilfslinie nach Gebrauch sofort wieder auszuradieren, damit die Übersicht gewahrt bleibt.