Aufgabe:
Gegeben ist ein Geradenpaar g, g' ("Gerade"). Gesucht sind alle
Drehvorschriften, die g auf g' abbilden.
Lösungsstrategie: Die Drehwinkel aller Vorschriften, die g auf g' abbilden, sind
so groß wie der (orientierte) Winkel zwischen g und g'. Es gibt je nach Orientierung
zwei solche Winkel, sie sind Nebenwinkel zueinander. Der Drehpunkt
hängt von der Wahl der Punkte A,B auf g und A',B' auf g' ab, die man für das
Makro Drehen-Gerade benötigt und die, abgesehen von der durch die Längentreue
bedingten Beziehung |A'B'|=|AB| auf g bzw. g' frei wählbar sind. Weil Ur-
und Bildpunkte A,A' bzw. B,B' gleichweit vom Drehpunkt D entfernt sind, liegt
D also auf der Mittelsenkrechten von [AA'] und [BB'] und ist damit ihr Schnittpunkt.
Gesucht ist die Ortslinie des Drehpunktes, wenn die Strecke [AB] auf g oder
[A'B'] auf g' wandert.
Man kann diese Ortslinien-Aufgabe auch in eine technische Form einkleiden:
Technische Formulierung der Aufgabe: Gegeben sind zwei sich kreuzende Schienen g und g',
auf denen gleichlange Stangen [AB] bzw. [A'B'] frei verschieblich sind. Die
Mittelsenkrechten der Verbindungsstrecken [AA'] und [BB'] sind in einem Punkt
D durch ein Gelenk verbunden. Welchen Weg legt D zurück, wenn [AB] auf g und/oder
[A'B'] auf g' verschoben wird?
Die Konstruktionsvorschrift lautet:
(1) Zwei Schienen g und g' zeichnen ("Gerade")
(2) Eine Vergleichsstrecke s zeichnen ("Strecke")
(3) Die Stangen der Länge |s| auf g und g' legen:
- Einen Punkt A auf g und einen Punkt A' auf g'
legen ("Punkt auf Objekt")
- An den Rand des Bildschirms je einen Richtungspunkt
auf g und auf g' legen ("Punkt
auf Objekt"),
die Strecke s von A und von A' aus
in Richtung der Richtungspunkte übertragen (Makro
Strecken-
übertragung), die Endpunkte
B bzw. B' nennen
- Die Strecken [AB] und [A'B'] zeichnen
(4) Den Punkt D konstruieren:
- Die Mittelsenkrechten von [AA'] und [BB'] konstruieren
(Makro Mittelsenkrechte)
- Die beiden Mittelsenkrechten schneiden ("Schnitt"), den Schnittpunkt
D nennen.
(5) Die Option Ortslinie
aufrufen, den Punkt A greifen und auf g wandern lassen.
Die Reihenfolge der Punkte A,B auf g bzw A',B' auf g' gibt die Orientierung
der Geraden g bzw. g' an.
Der Drehwinkel ist im Gegenuhrzeigersinn orientiert.
Die Drehpunkte liegen auf der Halbierenden seines Nebenwinkels.
Die Orientierung der Geraden g wurde umgekehrt, indem die Reihenfolge von
A und B vertauscht wurde.
Der Drehwinkel ist im Uhrzeigersinn orientiert.
Die Drehpunkte liegen wieder auf der Halbierenden seines Nebenwinkels.
Zu zwei gegebenen Geraden g,g' gibt es also beliebig viele Drehvorschriften,
die die eine auf die andere Gerade abbilden. Ihr Drehwinkel ist der orientierte
Winkel von g nach g'. Ihre Drehpunkte liegen auf der Halbierenden seines Nebenwinkels.
Gibt man außer den Geraden g und g' noch je einen Punkt
A auf g und A' auf g' fest vor, so bleiben die Punkte B und B' und damit die
gegenseitige Orientierung der beiden Geraden noch frei wählbar. Gibt man schließlich
auch noch die Punkte B auf g und B' auf g' vor, so ist die Orientierung der
Geraden festgelegt und es gibt nur noch genau eine Vorschrift, die g auf g'
abbildet.
Eine Drehvorschrift ist eindeutig bestimmt durch Vorgabe eines Geradenpaares
g,g' mit dem Punkten A,B auf g und A',B' auf g' und |AB|=|A'B'|.