Der Umkreismittelpunkt U

Ortslinie der Mittelsenkrechten im Dreieck

Aufgabe: Gegeben ist ein Dreieck ABC. Gefragt ist, ob es einen Punkt gibt, der von den drei Ecken gleichweit entfernt ist. Wir zeichnen eine Überlegungsfigur:

1. Ein Dreieck ABC zeichnen.
2. Die Mittelsenkrechten von [AC] und [BC] zeichnen und schneiden, den Schnittpunkt G nennen.
3. Der Punkt Gist also (Ortslinieneigenschaft der Mittelsenkrechten!) von A und C und ebenso von B und C gleichweit entfernt. Die Strecken [AG], [BG], [CG] zeichnen und messen.
4. A,B oder C greifen und in der Zeichenebene frei variieren.

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G markiert eine Linie, die vermutlich die Mittelsenkrechte zu [AB] ist. Das würde heißen, daß G auch von A und B und damit von allen drei Punkten A, B und C gleichweit entfernt ist. Wir überlegen: Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von A und B und von B und C ist gleichweit von A und B bzw. B und C, also auch von A und C entfernt (Transitivität) und liegt deshalb auch auf der Mittelsenkrechten von A und C.

Zu jedem Dreieck gibt es einen Punkt, der von den drei Ecken gleichweit entfernt ist. Es ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten. Wir nennen ihn G.